02-2 加法器与减法器

加法器与减法器

一、实现异或门的一种好方法：

使用最少继电器实现（只用了6个继电器）

使用单种逻辑门实现（用了8个继电器）

二、一位加法器

1. 半加器

半加器（半加就是只求本位的和，暂不管低位送来的进位数）的逻辑状态表

A	B	CO (进位信号)	S (本位和)
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	0

逻辑表达式：

$$f(x)=\left\{ \begin{aligned} &S=A'B+AB'（异或）\\ &CO=AB \end{aligned} \right.$$

实现如下：（需要8个继电器）

2. 全加器（Full Adder）

将对应位的加数和来自低位进位的3个数相加

• 使用半加器实现全加器（需要18个继电器：$8\times2+2=18$）

值得注意的是，两个半加器的输出不可能全为1，所以将两个进位信号相或，即可得到输出。

二、多位加法器

1. 串行进行的多位加法器

缺点：运算速度慢（下图展示的是4位串行进位加法器）

2. 超前进位加法器（74HC283）

下图为一全加器真值表：

CI	A	B	S	CO
0	0	0	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	1

先计算 $CO_i$：

可见：$(CO)_i=A_iB_i+(A_i+B_i)(CI)_i$

定义：

• 进位生成函数 $G_i=A_iB_i$

• 进位传送函数$P_i=(A_i+B_i)$

则上述式子可以化简为

$(CO)_i=G_i+P_iCI_i$

由于$CI_i=CO_{i-1}$

迭代可得：

$(CO)_i=G_i+P_iG_{i-1}+P_iP_{i-1}G_{i-2}+...+P_iP_{i-1}...P_1G_0+P_iP_{i-1}...P_0(CI_0)$

实际上在搭建过程中是将原始式子中所有的部分反向后完成，即有：

$(CO)'_i=G'_i+P'_iG'_{i-1}+P'_iP'_{i-1}G'_{i-2}+...+P'_iP'_{i-1}...P'_1G'_0+P'_iP'_{i-1}...P'_0(CI_0)'$

即：$(CO)_i=(G'_i+P'_iG'_{i-1}+P'_iP'_{i-1}G'_{i-2}+...+P'_iP'_{i-1}...P'_1G'_0+P'_iP'_{i-1}...P'_0(CI_0)')'$

而从全加器的真值表也可以得出 $S_i$ 的逻辑表达式:

$S_i=(A_iB'_i+A'_iB_i)(CI)'_i+(A_iB_i+A'_iB'_i)(CI)_i$

也就是：$S_i=A_i\oplus B_i \oplus (CI)_i$

三、减法器

1. 十进制数对9的补数（反码）与对10的补数（补码）

• 减法运算变为加法运算：求对9 的补数

如果计算：253-176

相当于计算：

253 + (999-176)+1-1000

• 循环排序的实现法：对所有数取10的补数

10的补数=9的补数＋1

-500	-499	…	-1	0	1	…	498	499	500
500	501	…	999	000	001	…	498	499	500

2. 二进制数对1的补数（二进制反码）和对2的补数（二进制补码）

（1）异或门搭建的求补器

由于异或门的工作方式：

XOR	0	1
0	0	1
1	1	0

当取反信号为0时，不取反，执行左边一列；当取反信号为1时， 取反，执行右边一列。

集成之后如下图：

二进制减法器的实现如下：

当SUB信号输入0时，表相加。当SUB信号输入1时，表相减。

先看SUB=0的情况：

求补器不工作，输出与输入相同。即正常地把两个数相加。CI输入也是0。

而且输出的CO信号与SUB信号作异或运算，即当SUB=0，有输出信号Y=CO

若Y=1，则表示运算上溢（表示加法中得到的值大于八位二进制能表示的最大数字255）。

再看SUB=1的情况：

求补器工作，输出与输出反向。输入的$B_7$_{$B_0$是取反之后的结果。这时`CI`的输入为1，加上后表示$B_7$}$B_0$取反结果＋1

$A_7$~$A_0$表示的数为正数，补码为其本身。加法器相当于把两者的补码相加。

得到的和输出的是相减之后的结果（这怎么理解，见下）

比如253-176=77得到的是正数，没有下溢。

253 用二进制表示为1111 1101（也是它的补码）

176用二进制表示为1011 0000

-176的八位二进制补码为0101 0000

求和得到：1 0100 1101 （可见如果结果为正，是一定能溢出一位的，因为溢出是来源于我加上去的那个256，连0加上256 ，都能溢出一位。而假如结果没有溢出，只能说明结果本来就是负数）

这样算相当于253+（256-176）-256（-256的操作依靠取后8位实现）

又比方说176-253=-77，得到的是负数

176的二进制：1011 0000

-253的补码：0000 0011

求和后：1011 0011

（注意：这是179的二进制，求得-79的二进制需要在对这个数取反加一）

由上面这段文字可知，结果的CO位体现着结果的正负性。当CO为1的时候，表示输出的是正数；当CO为0的时候，表示输出的是负数。

当CO等于0的时候，我们只知道他是负的，不知道具体是多少，后续还要再对该数字做取反加一的后续操作，才能得到-77中的“77”这个信息。

• 当我们已经得到了176+（256-253）后：

  后续的取反加一实际上是在做这个：256-（176+（256-253））

写在最后的注意事项：

无符号八位二进制数表示范围为：0~255

有符号八位二进制数表示范围为：-128~127