01 数制与码制

数字电子技术基础——数制与码制

一、二进制及其转换

二进制，是在数学和数字电路中以2为基数的记数系统，是以2为基数代表系统的二进位制。这一系统中，通常用两个不同的符号0和1来表示 。

1.整数的 X进制-二进制 转换：

十转二：

X转十：

• 难点1：带有小数的二进制数转十进制：

  $(101.11)_2=1\times2^2+0\times2^1+1\times2^0+1\times2^{-1}+1\times2^{-2}=(5.75)_{10}$

• 难点2：带有小数的十进制数转二进制：

  分别计算整数和小数部分：

  • 整数部分按照上述方法计算

  • 小数部分：将原数字乘2，取其整数部分；小数部分乘2，取其整数部分；如此循环直到小数部分不存在为止。最后将每一轮所取得的整数部分顺序排列
    

2. 十六、八进制与二进制的转化

二进制四位一组对应十六进制一位，二进制三位一组对应八进制一位，不足补齐前导0

二、二进制的朴素的乘除运算

二进制乘法：正常乘就行

二进制除法：“减”-“右移”-“减”-“右移”-“减”-“右移”-“减”-“右移”-“减”循环

三、利用补码实现二进制数加减法

原码：带符号的二进制数

反码：原码除了符号位之外取反得到，记为$(N)_{INV}$

补码：补码=模数+真值（超出模数则舍弃一个模数）。

用补码相加代替减法运算使得避开比较环节，记为$(N)_{COMP}$

例子：5是-7对模12的原码

• 难点4：原码和补码间的转换方式

原码转换为补码（将实际数值转换为补码以便在计算机中表示）：

1. 如果原码表示的是一个正数，补码=原码。
2. 如果原码表示的是一个负数，补码=原码除符号位取反＋1

补码转换为原码（从补码得到实际数值）：

1. 如果补码的最高位（符号位）是0，那么它表示的是一个正数，原码就是补码本身。
2. 如果补码的最高位是1，那么它表示的是一个负数，原码=补码除符号位取反＋1

• 难点5：进位溢出到符号位的处理方式：添加位数

  例：用补码方式计算-13+10

  13和10都可以用4位二进制数表示，加上一位符号位，考虑结果超过16可能性（后面算-13-10的时候会有，用5位试试看就知道会出问题），此处采用六位二进制数字表示

  其中-13的原码为1-01101，10的原码为0-01010

由此可以得到二者的补码：

其中 -13的补码为1-10011，10的原码为0-01010（注意10是正数，补码等于本身）

补码相加：（在相加过程中符号位参与运算，出现符号进位的情况后面再说）

$$-13\quad1-10011\\ \ \ \ 10\quad0-01010\\ ------------\\ \ \ -3\quad1-11101$$

注意此处得到的是-3的补码，要翻译回原码，由于第一项为符号位，为1，则对后面的取反＋1，得到1-00011，即为-3的原码。

$$-13\quad\quad\ \ 1-10011\\ -10\quad\quad\ \ 1-10110\\ ------------\\ -23\quad(1)\ \ 1-11101$$

注意！！！：二进制补码相加的时候，和的符号位等于两数符号位与来自最高位的进位相加的结果，而舍弃产生的进位。

以下为这句话的解释：

在二进制相加中，如果两个位相加的结果超过了当前位的表示范围，就会产生进位。对于补码相加，进位被舍弃，不参与最终结果的计算。这是因为补码的表示范围是固定的，超过该范围的进位部分将被忽略，以保持结果的正确性。

所以如果已经能够确定结果的范围，算出来的就一定是正确的了。只是其内部在取模，回环往复达到结果而已。

拓展：正溢出，负溢出与变形补码

变形补码就是多一个符号位，原来的0变00，11变11。

对加法而言，正负相加显然是不会溢出的。

那么对于正正相加，符号位为00、00，发生溢出时是上溢，应该会有进位到符号位上，会变成01。

而对于负负相加，符号位为11、11，此时两个数为$2*2^(n+1)+x$, $2*2^(n+1)+y$, 因为x和y都是负数，两个相加结果会小于$4*2^(n+1)$，不溢出的时候高两位表示的应该是$3*2^(n+1)$，所以是11，而溢出的时候，$x+y<-2*（n+1）$，高两位表示的应该是$2*2^(n+1)$，对应10。

所以"00"、 “01”分别表示正数、正溢出（上溢），“11”、“10”表示负数、负溢出（下溢）。

四、码制

（一）等长编码

1. 8421码

• 难点6：8421码（BCD码）

  用四位二进制数对位表示十进制数，没有权值，是等长编码

  例如：38

  3： 0011

  8： 1000

  所以38：$（0011 1000）_{8421BCD码}$

2. 格雷码

   最大特点：相邻代码只有一位改变状态。

   应用：路由器

（二）变长编码

1. 哈夫曼编码

   基于各个字母出现的频率进行不同长度的编码，出现频率小，编码长，表示不常用。适用于字典。